Cách tính diện tích và thể tích khi tăng giảm cạnh hình lập phương Lớp 5

Con cần biết gì?

Bài học này giúp học sinh:

• Nắm vững quy luật thay đổi của diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích khi các kích thước của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật thay đổi.
• Biết cách giải các bài toán so sánh, bài toán trắc nghiệm nâng cao về sự thay đổi kích thước mà không cần biết số đo cụ thể.
• Áp dụng các quy tắc nhẩm nhanh để xử lý chính xác các dạng bài tập Toán lớp 5.

Giải thích dễ hiểu

Khi thay đổi kích thước của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật, diện tích và thể tích sẽ thay đổi theo quy luật sau:

1. Đối với hình lập phương:

• Nếu cạnh của hình lập phương tăng (hoặc giảm) $n$ lần:
  • Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần sẽ tăng (hoặc giảm) $n \times n$ lần.
  • Thể tích sẽ tăng (hoặc giảm) $n \times n \times n$ lần.

Ví dụ: Cạnh tăng $2$ lần thì diện tích toàn phần tăng $2 \times 2 = 4$ lần, thể tích tăng $2 \times 2 \times 2 = 8$ lần.

2. Đối với hình hộp chữ nhật:

• Thể tích hình hộp chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng nhân chiều cao ($V = a \times b \times c$).
• Nếu một kích thước tăng $k$ lần thì thể tích tăng $k$ lần.
• Nếu cả ba kích thước thay đổi, thể tích mới bằng thể tích cũ nhân với tích các tỉ số thay đổi của chiều dài, chiều rộng và chiều cao.

Ví dụ: Chiều dài tăng $2$ lần, chiều rộng tăng $3$ lần, chiều cao giữ nguyên thì thể tích tăng $2 \times 3 = 6$ lần.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Hình lập phương A có cạnh $3\text{ cm}$. Hình lập phương B có cạnh $6\text{ cm}$. a) Tính diện tích toàn phần của hình A và hình B. Diện tích toàn phần hình B gấp mấy lần hình A? b) Tính thể tích của hình A và hình B. Thể tích hình B gấp mấy lần hình A?

Bài giải: a) Diện tích toàn phần hình A là: $3 \times 3 \times 6 = 54\text{ (cm}^2\text{)}$ Diện tích toàn phần hình B là: $6 \times 6 \times 6 = 216\text{ (cm}^2\text{)}$ Diện tích toàn phần hình B gấp diện tích toàn phần hình A số lần là: $216 : 54 = 4\text{ (lần)}$

b) Thể tích hình A là: $3 \times 3 \times 3 = 27\text{ (cm}^3\text{)}$ Thể tích hình B là: $6 \times 6 \times 6 = 216\text{ (cm}^3\text{)}$ Thể tích hình B gấp thể tích hình A số lần là: $216 : 27 = 8\text{ (lần)}$

Ví dụ 2: Nếu tăng cạnh của một hình lập phương lên $3$ lần thì diện tích xung quanh và thể tích của hình đó tăng lên bao nhiêu lần?

Bài giải: Gọi cạnh hình lập phương ban đầu là $a$. Cạnh hình lập phương mới là: $a \times 3$.

• Diện tích xung quanh ban đầu: $a \times a \times 4$.

• Diện tích xung quanh mới: $(a \times 3) \times (a \times 3) \times 4 = (a \times a \times 4) \times 9$. Vậy diện tích xung quanh tăng lên $9$ lần (vì $3 \times 3 = 9$).

• Thể tích ban đầu: $a \times a \times a$.

• Thể tích mới: $(a \times 3) \times (a \times 3) \times (a \times 3) = (a \times a \times a) \times 27$. Vậy thể tích tăng lên $27$ lần (vì $3 \times 3 \times 3 = 27$).

Ví dụ 3: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài tăng $2$ lần, chiều rộng tăng $4$ lần và chiều cao giảm $2$ lần. Hỏi thể tích của hình hộp chữ nhật đó thay đổi thế nào?

Bài giải: Khi chiều dài tăng $2$ lần và chiều rộng tăng $4$ lần, tích của chiều dài và chiều rộng tăng lên số lần là: $2 \times 4 = 8\text{ (lần)}$ Do chiều cao giảm $2$ lần nên thể tích mới gấp thể tích ban đầu số lần là: $8 : 2 = 4\text{ (lần)}$ Đáp số: Thể tích tăng lên $4$ lần.

Lỗi sai thường gặp

1. Nhầm tỉ số cạnh với tỉ số diện tích hoặc thể tích: Học sinh thường nghĩ cạnh tăng $2$ lần thì diện tích tăng $2$ lần, thể tích tăng $2$ lần. Con cần ghi nhớ: diện tích gắn liền với tích $2$ thừa số ($n \times n$), thể tích gắn liền với tích $3$ thừa số ($n \times n \times n$).
2. Nhầm lẫn khi tính $n \times n \times n$: Nhiều con tính $3 \times 3 \times 3 = 9$ thay vì $27$. Ba mẹ nên nhắc con nhân lần lượt từ trái sang phải: $3 \times 3 = 9$, sau đó $9 \times 3 = 27$.
3. Bỏ sót sự thay đổi của một trong các chiều đối với hình hộp chữ nhật: Chỉ tính sự thay đổi chiều dài và chiều rộng mà quên mất chiều cao.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Nếu cạnh của một hình lập phương tăng lên $4$ lần thì diện tích toàn phần của hình lập phương đó tăng lên bao nhiêu lần? Bài 2: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài tăng $3$ lần, chiều rộng giữ nguyên và chiều cao tăng $2$ lần. Hỏi thể tích hình hộp chữ nhật đó tăng lên bao nhiêu lần? Bài 3: Khối gỗ hình lập phương thứ nhất có cạnh $10\text{ cm}$. Khối gỗ hình lập phương thứ hai có cạnh $5\text{ cm}$. Hỏi thể tích khối gỗ thứ nhất gấp mấy lần thể tích khối gỗ thứ hai? Bài 4: Nếu giảm cạnh của một hình lập phương đi $2$ lần thì thể tích của nó giảm đi bao nhiêu lần?

Gợi ý cho ba mẹ

• Dùng đồ vật minh hoạ: Ba mẹ có thể dùng $8$ khối lập phương nhỏ (như khối đồ chơi xếp hình) để cùng con ghép thành $1$ khối lập phương lớn. Con sẽ trực quan nhận ra: muốn cạnh tăng gấp $2$ lần, ta phải dùng tới $8$ khối nhỏ (thể tích gấp $8$ lần).
• Đặt câu hỏi đố vui ngắn: "Nếu cạnh hình lập phương gấp $5$ lần thì diện tích toàn phần gấp mấy lần?" giúp con phản xạ nhanh quy tắc $5 \times 5 = 25$ lần.
• Khuyên con viết rõ công thức ra nháp trước khi làm để tránh tính nhầm.

Show answers

Bài 1: Khi cạnh tăng $4$ lần, diện tích toàn phần tăng số lần là: $4 \times 4 = 16\text{ (lần)}$ Đáp số: $16$ lần.

Bài 2: Thể tích mới gấp thể tích cũ số lần là: $3 \times 1 \times 2 = 6\text{ (lần)}$ Đáp số: $6$ lần.

Bài 3: Cạnh của khối gỗ thứ nhất gấp cạnh của khối gỗ thứ hai số lần là: $10 : 5 = 2\text{ (lần)}$ Thể tích khối gỗ thứ nhất gấp thể tích khối gỗ thứ hai số lần là: $2 \times 2 \times 2 = 8\text{ (lần)}$ Đáp số: $8$ lần.

Bài 4: Khi cạnh giảm đi $2$ lần, thể tích của hình lập phương giảm đi số lần là: $2 \times 2 \times 2 = 8\text{ (lần)}$ Đáp số: $8$ lần.